Репетитор по математике в Луганске Репетитор по математике в Луганске

Решение квадратных уравнений.

C видео версией данного урока вы можете ознакомиться -

Типы квадратных уравнений.

Существует две основные разновидности квадратных уравнений - полные квадратные уравнения, о которых речь пойдет ниже, и не полные квадратные уравнения, о которых можно почитать по ссылке.

Полное квадратное уравнение имеет вид:

ax^2+bx+c
Квадратные уравнения (рис. 1)

где a, b, c - какие либо числа, а х - неизвестные.

Для решения квадратного уравнения надо найти дискриминант, формула дискриминанта:

D=b^2+4ac
Квадратные уравнения (рис. 2)

После нахождения дискриминанта существует три возможных варианта в зависимости от того какой результат в дискриминанте: D > 0 D = 0; D < 0

Дискриминант больше нуля (D > 0).

В случае если дискриминант больше нуля (D > 0), то уравнение имеет два действительных корня. Для их нахождения используется следующая формула:

x=-b+(-)sqrt(D)/2a
Квадратные уравнения (рис. 3)

Дискриминант равен нулю (D = 0).

Когда дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один действительный корень. Для его нахождения используется формула:

x=-b/2a
Квадратные уравнения (рис. 4)

Дискриминант меньше нуля (D < 0).

Когда дискриминант меньше нуля (D < 0), то у уравнения “корней нет”

Для более глубокого понимания данной темы предлагаю рассмотреть примеры:

Примеры:

Пример №1:

3x^2+6x-45=0
Квадратные уравнения (рис. 5)

Для начала давайте внимательно посмотрим на наше уравнение, все числовые значения имеют общий множитель 3 - значит мы можем разделить все уравнение на 3, в итоге получим:

x^2+2x-15=0
Квадратные уравнения (рис. 6)

Как было написано ранее мы должны вычислить дискриминант, из уравнения а = 1; b = 2; c = -15:

D=2^2-4*(-15)=64
Квадратные уравнения (рис. 7)

Так как дискриминант больше нуля, то в нашем квадратном уравнении два действительных корня, находим их по соответствующим формулам:

x1=3 x2=-5
Квадратные уравнения (рис. 8)

Корни нашего уравнения: x = {-5; 3}.

Пример №2:

x^2+6x+9=0
Квадратные уравнения (рис. 9)

Так же как и в прошлом примере находим дискриминант, из уравнения a = 1; b = 6; c = 9:

D=6^2-4*9=0
Квадратные уравнения (рис. 10)

Так как дискриминант равен нулю, то в квадратное уравнение имеет только один действительный корень, находим его по формуле:

x=-6/2=-3
Квадратные уравнения (рис. 11)

Корень нашего уравнения: x = {-3}.

Пример №3:

2x^2-2x+9=0
Квадратные уравнения (рис. 12)

Находим дискриминант, из уравнения a = 2; b = -2; c = 9:

D=2^2-4*2*9=-68
Квадратные уравнения (рис. 13)

Так как дискриминант является отрицательным числом, то исходное уравнение действительных корней не имеет. В ответ запишем: “Корней нет”.